1. 基础知识
(1) 平面上有 \( n \) 个点。由这些点连接而成的直线最大数量为 \( N \) 和 \( N = \left( \begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) \) 。
我们选取两个点，因为两点才能确定一条直线。
(2) 平面上有 \( n \) 个点。以这些点为顶点可构成的三角形最大数量为 \( N \) 和 \( N = \left( \begin{array}{l} n \\ 3 \end{array}\right) \) 。
我们选取三个点，因为三点才能构成一个三角形。
(3) 平面上有 \( n \) 条直线。这些直线最多可将平面划分为 \( N \) 和 \( \mathrm{N} = \left( \begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} n \\ 1 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) = \frac{n\left( {n + 1}\right) }{2} + 1 \) 个区域。
(4) 在 \( m \times n \) 矩形中计数正方形与矩形
(4.1) 对于一个具有 \( m \) 行 \( n \) 列的矩形，可计数的矩形总数为 \( N = \left( \begin{array}{l} m + 1 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} n + 1 \\ 2 \end{array}\right) \) 。
从 \( m + 1 \) 条竖直线中选取两条作为竖直边，从 \( n + 1 \) 条水平线中选取两条作为水平边。
(4.2) 在具有 \( m \geq n \) 的 \( m \times n \) 矩形网格中，正方形的数量为
\[ N = m \times n + \left( {m - 1}\right) \times \left( {n - 1}\right) + \left( {m - 2}\right) \times \left( {n - 2}\right) + \ldots + \left( {m - I}\right) \times 1 \]
其中 \( I \) 为 \( m - n \) 。
(4.3) 若 \( m = n \) ，则 \( m \times m \) 方格网中的正方形数量为
\[ N = {m}^{2} + {\left( m - 1\right) }^{2} + {\left( m - 2\right) }^{2} + \ldots + {1}^{2} \]
(4.4) \( 1 \times 2 \) 矩形的数量: \( N = m \times \left( {n - 1}\right) + n\left( {m - 1}\right) \)
(4.5) \( 1 \times l \) 矩形的数量: \( N = m \times \left( {n - \left( {l - 1}\right) }\right) + n\left( {m - \left( {l - 1}\right) }\right) \)
(4.6) \( s \times l \) 矩形的数量:
\( N = \left\lbrack {m - \left( {l - 1}\right) }\right\rbrack \times \left\lbrack {(n - \left( {s - 1}\right) \rbrack + \left\lbrack {n - \left( {l - 1}\right) }\right\rbrack \times \left\lbrack {m - \left( {s - 1}\right) }\right\rbrack }\right. \)
(4.7) 在 \( m \times m \) 正方形中 \( l \times l \) 正方形的数量: \( N = {\left\lbrack m - \left( l - 1\right) \right\rbrack }^{2} \) 。
(5) \( n \) 个圆和 \( m \) 条直线最多可将平面划分为 \( N \) 个区域，且
\[ N = 2\left( \begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} m \\ 2 \end{array}\right) + {2mn} + m + 1 = n\left( {n - 1}\right) + \frac{m\left( {m - 1}\right) }{2} + {2mn} + m + 1 \]
(6) 凸 \( n \) 边形的对角线最大数量为 \( N \) ，且
\[ N = \left( \begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) - n = \frac{n\left( {n - 3}\right) }{2}. \]
(7) 凸 \( n \) 边形的对角线交点最大数量为 \( N \) 和 \( N = \left( \begin{array}{l} n \\ 4 \end{array}\right) \) 。
(8) 平面被 \( n \) 个圆分割出的最大区域数(regions)为 \( N \) ，且
\[ N = 2\left\lbrack {\left( \begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) + 1}\right\rbrack = {n}^{2} - n + 2. \]
证明:
一个圆将平面分成2个部分。两个圆将平面分成4个部分。三个圆将平面分成8个部分。四个圆将平面分成14个部分。
圆的数量
区域数量
根据牛顿小公式，
\( N = A\left( \begin{matrix} n - 1 \\ 0 \end{matrix}\right) + B\left( \begin{matrix} n - 1 \\ 1 \end{matrix}\right) + C\left( \begin{matrix} n - 1 \\ 2 \end{matrix}\right) + \cdots \cdots + K\left( \begin{matrix} n - 1 \\ m \end{matrix}\right) , \) 区域点数
\[ \text{is}{a}_{n} = 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 0 \end{array}\right) + 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 1 \end{array}\right) + 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 2 \end{array}\right) = {n}^{2} - n + 2 = n\left( {n - 1}\right) + 2\text{.} \]
(9) 平面被 \( n \) 个矩形分割后所能得到的最大区域数为 \( N \) ，且
\[ N = 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 0 \end{array}\right) + 8\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 1 \end{array}\right) + 8\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 2 \end{array}\right) = 2 + {4n}\left( {n - 1}\right) . \]
证明:
一个矩形可将平面分割为2个区域。两个矩形可将平面分割为10个区域。三个矩形可将平面分割为 \( 3 \times 4 + 2 \times 4 + 4 + 1 = {26} \) 个区域。四个矩形可将平面分割为50个区域。
根据牛顿小公式(Newton's little formula)，我们有:
\[ N = 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 0 \end{array}\right) + 8\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 1 \end{array}\right) + 8\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 2 \end{array}\right) \]
\[ = 2 + {4n}\left( {n - 1}\right) = 4{n}^{2} - {4n} + 2 \]
(10) 平面被 \( n \) 个三角形分割后，区域的最大数量为 \( N \) ，且
\[ N = 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 0 \end{array}\right) + 6\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 1 \end{array}\right) + 6\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 2 \end{array}\right) = 2 + {3n}\left( {n - 1}\right) . \]
(11) 平面上 \( n \) 个圆的最大交点数为 \( N \) ，且
\[ N = 0 \times \left( \begin{matrix} n - 1 \\ 0 \end{matrix}\right) + 2\left( \begin{matrix} n - 1 \\ 1 \end{matrix}\right) + 2\left( \begin{matrix} n - 1 \\ 2 \end{matrix}\right) = {n}^{2} - n = n\left( {n - 1}\right) \]
证明:圆的数量 点的数量
根据牛顿小公式:
\( N = A\left( \begin{matrix} n - 1 \\ 0 \end{matrix}\right) + B\left( \begin{matrix} n - 1 \\ 1 \end{matrix}\right) + C\left( \begin{matrix} n - 1 \\ 2 \end{matrix}\right) + \cdots \cdots + K\left( \begin{matrix} n - 1 \\ m \end{matrix}\right) \) ，交点的数量
为 \( N = 0 \times \left( \begin{matrix} n - 1 \\ 0 \end{matrix}\right) + 2\left( \begin{matrix} n - 1 \\ 1 \end{matrix}\right) + 2\left( \begin{matrix} n - 1 \\ 2 \end{matrix}\right) = 0 + 2\left( {n - 1}\right) + \frac{2\left( {n - 1}\right) \left( {n - 2}\right) }{2} \)
\( = {2n} - 2 + {n}^{2} - {3n} + 2 = {n}^{2} - n = n\left( {n - 1}\right) \)
2. 示例
2.1. 计算点的数量
示例1. 平面上有一个圆和两个三角形。这些图形中任意两个或更多图形的交点最多有多少个？
(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 18
解答:(E)。
一个圆最多可与三角形的每条边相交于两点，因此一个圆与一个三角形最多有6个交点，与两个三角形最多有12个交点。注意两个三角形之间还有6个交点。所以答案为 \( {12} + 6 = {18} \) 。下图表明该数量确实可以达到18。
示例2. 平面上有一个圆和两个正方形。这些图形中任意两个或更多图形的交点最多有多少个？
(A) 24 (B) 8 (C) 14 (D) 15 (E) 18
解答:(A)。
一个圆最多可与一个正方形相交于8个点，与两个正方形相交于2 \( \times 8 = {16} \) 个点。两个正方形最多可有8个交点。因此总共有 \( {16} + 8 = {24} \) 个交点。最后一幅图表明该数量确实可以达到24。
示例3. (2002 AMC 10 B 第18题)平面上画有四个不同的圆。至少有两个圆相交的点的最大数量是多少？
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 16
答案:(D)。
方法1(官方解法):
每对圆最多有两个交点。
是 \( \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) = 6 \) 对圆，因此最多有 \( 6 \times 2 = {12} \)
交点。以下配置表明确实可以存在12个交点:
方法二(我们的解决方案):
两个圆之间最多有两个交点。
如果我们添加第三个圆，这个新圆最多会与这两个圆相交于 \( 2 \times 2 = 4 \) 个点。
于是我们得到 \( 2 + 4 = 6 \) 个交点。
如果我们添加第四个圆，这个圆最多会与这三个圆相交于 \( 2 \times 6 \) \( = 6 \) 个点。
因此，我们得到 \( 2 + 4 + 6 = {12} \) 个交点。
方法3(我们的方法):
根据公式，交点数量为 \( n\left( {n - 1}\right) = 4 \times 3 = {12} \) 。
例4. 在平面上画出七个互不相同的圆。这些圆中至少有两个圆相交的点的最大数量是多少？
(A) 18 (B) 29 (C) 40 (D) 42 (E) 46
答案:(D)。
方法1:
每对圆最多有两个交点。共有 \( \left( \begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}\right) = {21} \) 对
圆之间最多有 \( {21} \times 2 = {42} \) 个交点。
方法二:
根据公式，交点数量为 \( n\left( {n - 1}\right) = 7 \times 6 = {42} \) 。
例5. 在平面上画出两个不同的圆和三条直线，最多能有多少个交点？
(A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 17 (E) 18
答案:(D)。
方法1:三条直线将有3个交点。一个圆与每条直线最多有2个交点。每个圆将额外增加6个交点，因此两个圆与这些直线共增加12个交点。
然而，两个圆之间最多只有两个交点。这将增加2个交点。交点总数为 \( 3 + {12} + \) \( 2 = {17} \) 。
方法2:交点数量为 \( N \) 且
\( N = 2\left( \begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} m \\ 2 \end{array}\right) + {2mn} = n\left( {n - 1}\right) + \frac{m\left( {m - 1}\right) }{2} + {2mn} \) ，其中 \( n \) 为
圆的数量， \( m \) 是直线的数量。
\[ N = 2\left( {2 - 1}\right) + 3\left( {3 - 1}\right) /2 + 2 \times 2 \times 3 = {17}. \]
例6. 在直线 \( n\left( {A, B, C, D}\right) \) 上取四个不同的点，在直线 \( m\left( {E, F, G, H, I}\right) \) 上取五个不同的点，使得连接 \( n \) 上四点之一与 \( m \) 上五点之一的20条不同线段在阴影区域内的交点数达到最大。求阴影区域内交点的最大数量，不包括位于直线 \( m \) 或 \( n \) 上的交点。
(E) 48
(A) 60 (B) 52 (C) 55 (D) 57
解答:(A)。
由于排除了位于直线 \( m \) 和 \( n \) 上各点的交点，仅统计阴影区域内的交点。直线 \( m \) 上的两点与直线 \( n \) 上的两点共同构成一个交点。在直线 \( m \) 上选取两点的方式有 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \) 种，在直线 \( n \) 上选取两点的方式有 \( \left( \begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) \) 种。
因此，最大交点数即为乘积: \( \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) = {60} \) 。
例7. 如图所示，直线 \( a \) 平行于直线 \( b \) 。直线 \( a \) 上有6个点，直线 \( b \) 上有7个点。若将a上的每个点与b上的每个点相连，可得到多条直线。若这些直线中任意三条不共点，则 \( a \) 与 \( b \) 之间的交点数为多少？
(A) 260 (B) 315 (C) 355 (D) 357 (E) 348
解答:(B)。
通过连接 \( a \) 上的两点与 \( b \) 上的两点，可得到一个交点。
从 \( \left( \begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) \) 上的6个点中选取两点有 \( \left( \begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) \) 种方式，
从 \( b \) 上的7个点中选取两点有 \( \left( \begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}\right) \) 种方式。
因此，交点数为 \( \left( \begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}\right) = {15} \times {21} = {315} \) 。
例8. (AMC) 直线 \( {L}_{1},{L}_{2}\ldots ,{L}_{100} \) 互不相同。所有直线 \( {\mathrm{L}}_{4n}, n \) (正整数)彼此平行。所有直线 \( {\mathrm{L}}_{{4n} - 3}, n \) (正整数)均通过给定点 \( A \) 。由完整集合 \( \left\{ {{L}_{1},{L}_{2},\ldots ,{L}_{100}}\right\} \) 中任意两条直线相交所得的最大交点数为
(A) 4350 (B) 4351 (C) 4900 (D) 4901 (E) 9851
解答:(B)。
方法1(官方解答，间接法):
100条直线最多可相交于 \( \left( \begin{array}{l} {100} \\ 2 \end{array}\right) = \frac{{100} \cdot {99}}{2} = {4950} \) 个点。但25条
直线 \( {L}_{4},{L}_{8},\ldots ,{L}_{100} \) 彼此平行，因此失去了 \( \left( \begin{array}{l} {25} \\ 2 \end{array}\right) = {300} \) 个交点。此外，
25条直线 \( {L}_{1},{L}_{5},\ldots ,{L}_{97} \) 仅相交于点 \( A \) ，因此又失去了 \( \left( \begin{array}{l} {25} \\ 2 \end{array}\right) - 1 = {299} \) 个交点。最大交点数为4950 - \( {300} - {299} = {4351} \)
方法2(我们的解决方案，直接法):
我们有一百条直线。然而，我们知道其中25条 \( {L}_{4},{L}_{8},\ldots ,{L}_{100} \) 互相平行，它们之间没有交点。我们还被告知另外25条 \( {L}_{1},{L}_{5},\ldots ,{L}_{97} \) 仅在点 \( A \) 处相交，因此它们之间只有一个交点。
在剩下的50条直线中，我们有 \( \left( \begin{array}{l} {50} \\ 2 \end{array}\right) = {1225} \) 个交点。
这50条线将分别与线 \( {\mathrm{L}}_{4n} \) 和 \( {\mathrm{L}}_{{4n} - 3} \) 相交
一次。因此我们有 \( {50} \times {50} = {2500} \) 个交点。
\( {25} \times {25} = {625} \) 和 \( {\mathrm{L}}_{4n} \) 与 \( {\mathrm{L}}_{{4n} - 3} \) 之间也存在交点。
交点的最大数量为 \( 1 + {1225} + {2500} + {625} = {4351} \) 。
例9. 在一个正六边形中画出所有9条对角线。在六边形内部(不包括边界)有多少个不同的点，使得两条或更多对角线相交？
(A) 13 (B) 15 (C) 14 (D) 12 (E) 11
答案:(A)。
方法1:
我们通过直接作图解决此问题，得到13个交点(pints of intersection)。
方法二:
我们知道，一个凸 \( n \) 边形的对角线交点最大数量为 \( N \) ，且
\[ N = \left( \begin{array}{l} n \\ 4 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} 6 \\ 4 \end{array}\right) = {15} \]
然而，四条对角线相交于中心，因此我们需要从这一计数中减去。 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) = 3 \) 。
答案是 \( {15} - 3 + 1 = {13} \) 。
2.2. 区域数量的计数
例10. 一个矩形最多可将平面分成2部分。两个矩形最多可将平面分成多少部分？
(A) 13 (B) 10 (C) 14 (D) 12 (E) 11
解答:(B)。
方法1:
我们计数。一个矩形将平面分成2个区域。
两个矩形将平面分成10个区域。
方法2:
最多区域数 \( n \) 个矩形可将
平面分成 \( N \) 和 \( N = 2 + {4n}\left( {n - 1}\right) = N = 2 + 4 \times 2\left( {2 - 1}\right) = {10} \) 。
例11. 四个圆在平面上最多可形成多少个区域？
(A) 14 (B) 12 (C) 8 (D) 16 (E) 14
解答:(A)。
方法1:
我们画图并计数:14。
方法2:
一个圆最多能把平面分成2部分。两个圆最多能把平面分成4部分。三个圆最多能把平面分成8部分。现在我们插入第 \( {4}^{\text{th }} \) 个圆，仅凭肉眼去数区域数量已经比较困难了。为了尽可能多地分割平面，第 \( {4}^{\text{th }} \) 个圆必须与前面3个圆各产生2个交点。于是得到6个交点。这6个点把第 \( {4}^{\text{th }} \) 个圆分成6段弧，每段弧把所在区域一分为二，即每段弧使区域数增加1，因此6段弧共增加6个区域，于是可知4个圆最多能把平面分成 \( 8 + 6 = {14} \) 部分。
例12. 平面上8个圆最多能把平面分成多少个区域？
(A) 48 (B) 49 (C) 50 (D) 58 (E) 62
解答:(D)。
根据公式，区域数为
\[ N = 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 0 \end{array}\right) + 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 1 \end{array}\right) + 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 2 \end{array}\right) = {n}^{2} - n + 2 = n\left( {n - 1}\right) + 2. \]
答案是 \( N = 8 \times 7 + 2 = {58} \) 。
例13. (2004 AMC 10 A) 下图所示的 \( 5 \times 5 \) 网格中包含边长从 \( 1 \times 1 \) 到 \( 5 \times 5 \) 的各种正方形。其中有多少个正方形包含黑色中心方格？
(A) 12 (B) 15 (C) 17 (D) 19 (E) 20
解答:(D)。
方法1(官方解法，直接法):
所有边长为 \( 5 \times 5,4 \times 4 \) 和 \( 3 \times 3 \) 的正方形都包含黑色方格，共有 \( {1}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2} = {14} \) 个。此外， \( 2 \times 2 \) 个边长为 \( 2 \times 2 \) 的正方形中有4个包含黑色方格， \( 1 \times 1 \) 个边长为 \( 1 \times 1 \) 的正方形中有1个包含黑色方格，总计 \( {14} + 4 + 1 = {19} \) 个。
方法2(我们的解法，间接法):
我们共有 \( {1}^{2} + {2}^{2} + {3}^{2} + {4}^{2} + {5}^{2} = {55} \) 个各种大小的正方形。
我们数出 \( {241} \times 1 \) 个正方形。
我们数出 \( {122} \times 2 \) 个正方形。
答案是 \( {55} - {24} - {12} = {19} \) 。
示例14。下图所示的 \( 4 \times 6 \) 矩形方格中包含一个阴影方格。随机选取一个矩形子区域，该子区域包含阴影部分的概率是多少？
(D) \( 2/9 \) (E) \( 3/7 \)
解答:(C)。
首先，从阴影方格左侧的三条直线中，选择一条作为包含阴影区域的矩形的左侧边，即 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \) ；
其次，从阴影方格右侧的三条直线中，选择一条作为包含阴影区域的矩形的右侧边，即 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \) ；第三，从阴影方格上方的三条直线中，选择一条作为包含阴影区域的矩形的上边，即 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \) ；
第四，从阴影方格下方的三条直线中，选择一条作为包含阴影区域的矩形的下边，即 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \) ；
第五，应用乘法原理(Fundamental Counting Principal)计算包含该阴影方格的矩形子区域总数:
\[ \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) = {60} \]
矩形总数为 \( \left( \begin{array}{l} 7 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) = {210} \) 。
概率为 \( {60}/{210} = 2/7 \) 。
示例15。一个2×21的矩形由单位方格组成，如下图所示。每行中间的单位方格被阴影覆盖。若从图中随机选取一个矩形，
该矩形不包含任何阴影方格的概率是多少？
(A) \( \frac{10}{21} \) (B) \( \frac{11}{21} \) (C) \( \frac{11}{20} \) (D) \( \frac{1}{2} \) (E) \( \frac{2}{21} \)
解答:(A)。
有3条线段可作为矩形的上边或下边。有22条线段可作为矩形的左右边。矩形总数为 \( \left( \begin{matrix} {21} + 1 \\ 2 \end{matrix}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \) 。
在阴影方格左侧且不包含阴影区域的矩形数量为 \( \left( \begin{matrix} {10} + 1 \\ 2 \end{matrix}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \) ；
在阴影方格右侧且不包含阴影区域的矩形数量为 \( \left( \begin{matrix} {10} + 1 \\ 2 \end{matrix}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \) 。
概率为: \( \frac{2 \times \left( \begin{matrix} {10} + 1 \\ 2 \end{matrix}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) }{\left( \begin{matrix} {21} + 1 \\ 2 \end{matrix}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) } = \frac{110}{231} = \frac{10}{21} \) 。
2.3 计算多边形数量
例16 从下图所示的网格中随机选取三个点。每组三点被选中的概率相同。求这三点构成三角形的概率。
(A) \( 2/{21} \) (B) \( 1/{21} \) (C) 19/21 (D) \( 1/7 \) (E) \( 2/7 \)
解答:(C)。
从九个网格点中可选取的三点组总数
\[ \left( \begin{array}{l} 9 \\ 3 \end{array}\right) = {84} \]
其中八组三点共线:
3组在竖直线上，3组在水平线上，2组在对角线上。
\[ 8 \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) = 8 \]
这些三点组无法构成三角形。
构成的三角形数量为 \( {84} - 8 = {76} \) 。
因此概率为 \( {76}/{84} = {19}/{21} \) 。
例17 十六个格点沿 \( 3 \times 3 \) 矩形的边排列，如图所示。这些点中任选三点为顶点，可构成多少个三角形？
(A) 516 (B) 520 (C) 464 (D) 468 (E) 420
解答:(A)。
共有 \( \left( \begin{array}{l} {16} \\ 3 \end{array}\right) \) 种潜在组合。注意我们使用“潜在”一词，因为还需考虑退化三角形的情况。
(1) 三点共线无法构成三角形的数量为 \( \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \) 。四行四列共产生 \( 8 \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \) 个退化三角形。
(2) 从一条对角线中任取三点无法构成的三角形数量为 \( \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \) 。两条对角线共给出 \( 2 \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \) 个退化三角形。
(3) 按下图所示取三点，无法构成的三角形数量为 \( 4 \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) \) 。
三角形的总数将为
\[ \left( \begin{array}{l} {16} \\ 3 \end{array}\right) - 8 \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) - 2 \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) - 4 \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) = {560} - {32} - 8 - 4 = {516}. \]
例18.(2014年北卡罗来纳大学夏洛特分校数学竞赛)下图由八条线段构成，每条线段的一个端点都是 \( A \) 或 \( B \) 。这些线段围成大小不一的三角形。问共有多少个三角形区域？
(A) 19 (B) 32 (C) 36 (D) 38 (E) 42
解:(E)。
方法1(官方解法):
每个三角形包含 \( \mathrm{A} \) 或 \( \mathrm{B} \) 或两者皆有。共有 \( 6 \cdot 4 = {24} \) 个三角形包含 \( \mathrm{A} \) ，以及 \( {10} \cdot \) \( 3 = {30} \) 个包含 \( B \) 。但我们重复计算了 \( 4 \cdot 3 = {12} \) 个三角形，因此共有 \( {24} + {30} - {12} = {42} \) 个三角形区域。
方法2(我们的解决方案):
我们有八条线，其中三条线可以组成一个三角形。因此，我们最多可以得到 \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 3 \end{array}\right) \)
三角形。然而，任何三条交于A的直线都无法构成一个三角形。任何三条交于 \( \mathrm{B} \) 的直线同样无法构成一个三角形。
所以答案是 \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 3 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) = {56} - 4 - {10} = {42} \) 。
例19. 图中共有多少个三角形？ (D) 24 (E) 28
答案:(D)。
给定图形中有7条线段。由于三条线段可以组成一个三角形，因此7条线段可组成的三角形总数为 \( \left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) = {35} \) 。
从交于点 \( D \) (同时也交于 \( F, G, A, B \) 和 \( C \) )的三条直线中任选三条，并不能构成三角形。共有
\( 6 \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) = 6 \) 种方法可以做到这一点。
两条平行线和另一条直线同样无法构成三角形。共有 \( \left( \begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 5 \\ 1 \end{array}\right) = 5 \) 种这样的组合。我们必须从所有可能的组合数中减去这些无法构成三角形的情况。所求的解为 \( {35} - 6 - 5 = {24} \) 。
例20.(2010 AMC 12)一条16步的路径从(-4,-4)走到(4,4)，每一步使 \( x \) 坐标或 \( y \) 坐标增加1。有多少条这样的路径在每一步都位于正方形 \( - 2 \leq x \leq 2, - 2 \leq y \leq 2 \) 之外或边界上？
(A) 92 (B) 144 (C) 1568 (D) 1698 (E) 12,800
答案:(D)。
方法1(官方解法):
每条这样的路径与直线 \( y = - x \) 恰好相交于 \( \left( {\pm 4, \mp 4}\right) \) 、 \( \left( {\pm 3, \mp 3}\right) \) 或 \( \left( {\pm 2, \mp 2}\right) \) 中的一个点。对于 \( j = 0,1 \) 和2，从(-4,4)到 \( \left( {\pm \left( {4 - j}\right) , \mp \left( {4 + j}\right) }\right) \) 中任一点的路径数为 \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ j \end{array}\right) \) ，而从 \( \left( {\pm \left( {4 - j}\right) , \mp \left( {4 + j}\right) }\right) \) 中任一点到(4,4)的路径数相同。因此满足条件的路径数为 \( 2\left( {{\left( \begin{array}{l} 8 \\ 0 \end{array}\right) }^{2} + {\left( \begin{array}{l} 8 \\ 1 \end{array}\right) }^{2} + {\left( \begin{array}{l} 8 \\ 2 \end{array}\right) }^{2}}\right) = 2\left( {{1}^{2} + {8}^{2} + {28}^{2}}\right) = {1698} \) 。方法二(我们的解法):路径必须依次经过 \( C, D \) 、 \( E \) 、 \( F, G \) 和 \( H \) 中的各一个点。
\( A \) 到 \( C \) 到 \( B : 1 \times 1 = 1 \)
\( A \) 到 \( D \) 到 \( B : \left( \begin{array}{l} 8 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 8 \\ 1 \end{array}\right) = {64} \)
\( A \) 到 \( E \) 到 \( B : \left( \begin{array}{l} 8 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 8 \\ 2 \end{array}\right) = {784} \)
\( {784} + {64} + 1 = {849} \) 种方式。
根据对称性，还有另外849种方式，解为 \( {849} \times 2 = {1698} \) 。
例21. 将16个正方形方块排成一个 \( 4 \times 4 \) 的正方形。从中选取3个方块，要求任意两个既不在同一行也不在同一列，共有多少种不同的组合？
(A) 120 (B) 100 (C) 96 (D) 84 (E) 76
答案:(C)。
在16个方格中先选定一个后，剩下的方格里有9个既不与它同行也不与它同列。再选第二个方格后，剩下的方格中有4个与前两个方格都不在同一行或同一列。由于这三个方格的选取顺序可以任意，因此不同的组合数为 \( \left( {{16} \times 9 \times 4}\right) /3! = {96} \) 。
例22. 从下面的3×3方格网中选出两个小方格，使得这两个方格有公共顶点但不共享同一条边，共有多少种选法？
(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 8 (E) 6
解答:(D)。
方法一:
通过直接画图，我们数出共有8种:
方法二:
下图展示了两个仅有一个公共点的方格。
我们发现，每出现一个2×2方格，就能得到两种选法。
设 \( N \) 为从 \( m \) × \( m \) 方格中可选出的 \( l \) × \( l \) 方格数。 \( N = {\left\lbrack m - \left( l - 1\right) \right\rbrack }^{2} = {\left\lbrack 3 - \left( 2 - 1\right) \right\rbrack }^{2} = 4 \) 个方格。
由于每个2×2方格对应两种选法，故答案为 \( 2 \times 4 = 8 \) 。
例23. 从4×4棋盘中选出由三个方格组成的 \( L \) 形图案，共有多少种选法？
(A) 30 (B) 32 (C) 34 (D) 38 (E) 36
解答:(E)。
下图表明，每出现一个2×2方格，就能得到4种选法。
因此选法总数为 \( N = 4\left( {m - 1}\right) \times \left( {n - 1}\right) = 4\left( {4 - 1}\right) \times \left( {4 - 1}\right) = {36} \) 。
问题
问题1.(2001 AMC 10)一个圆与一个三角形最多可能有多少个交点？
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6
问题2. 平面上有两个圆和一个正方形。这三个图形中任意两个或三个相交，最多可能有多少个交点？
(A) 5 (B) 8 (C) 14 (D) 15 (E) 18
问题3. 平面上画有五个互不相同的圆。这些圆中至少有两个相交的交点最多有多少个？
(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 22 (E) 26
问题4. 平面上画有十个互不相同的圆。这些圆中至少有两个相交的交点最多有多少个？
(A) 90 (B) 45 (C) 80 (D) 82 (E) 86
问题5. 平面上画有三个互不相同的圆和四条直线。这些图形之间的交点最多有多少个？
(A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 17 (E) 18
问题6. 在直线 \( n\left( {A, B, C, D, E}\right) \) 上取五个不同的点，在直线 \( m\left( {F, G, H, I, J, K}\right) \) 上取六个不同的点，以最大化阴影区域内由 \( n \) 上四个点与 \( m \) 上五个点连成的30条唯一线段之间的交点数。求阴影区域内交点的最大数量，不包括位于直线 \( m \) 或 \( n \) 上的交点。
(D) 167 (E) 180
(A) 120 (B) 132 (C) 150
问题7. 如图所示，直线 \( a \) 平行于直线 \( b \) 。直线a上有10个点，直线b上有9个点。若将 \( a \) 上的每个点与 \( b \) 上的每个点相连，可得到许多直线。若这些直线中任意三条不共点，则 \( a \) 与 \( b \) 之间的交点共有多少个？
(A) 1520 (B) 1620 (C) 1650 (D) 1670 (E) 1800
问题8。直线 \( {L}_{1},{L}_{2}\ldots ,{L}_{200} \) 互不相同。所有直线 \( {\mathrm{L}}_{4n}, n \) (其中为正整数)彼此平行。所有直线 \( {\mathrm{L}}_{{4n} - 3}, n \) (其中为正整数)都经过给定点 \( A \) 。由完整集合 \( \left\{ {{L}_{1},{L}_{2},\ldots ,{L}_{50}}\right\} \) 中直线两两相交得到的交点最大数量为
(A) 1024 (B) 1082 (C) 1100 (D) 1200 (E) 1030
问题9。(2013 AMC 10A 第25题)在正八边形中画出全部20条对角线。在八边形内部(不含边界)有多少个不同的点，使得两条或更多对角线在此相交？
(A) 49 (B) 65 (C) 70 (D) 96 (E) 128
问题10。一个矩形最多可将平面分成2部分。三个矩形最多可将平面分成多少部分？
(A) 26 (B) 36 (C) 40 (D) 46 (E) 28
问题11。平面上五个圆最多可将平面分成多少个区域？
(A) 18 (B) 20 (C) 22 (D) 24 (E) 26
问题12。平面上10个圆最多可将平面分成多少个区域？
(A) 88 (B) 89 (C) 90 (D) 92 (E) 96
问题13。所示的 \( 5 \times 5 \) 网格中包含若干矩形。其中有多少个矩形包含黑色中心方格？
(A) 12 (B) 15 (C) 17 (D) 19 (E) 20
问题14。下方所示的 \( 4 \times {16} \) 矩形方格网格中含有一个阴影方格。有多少个矩形子区域包含该阴影方格？
(A) 120 (D) 180 (E) 190
问题15。下图所示的2×41矩形由单位正方形组成。每行中间的单位正方形被阴影覆盖。若从图中随机选取一个矩形，该矩形不包含任何阴影方格的概率是多少？
(A) \( \frac{20}{41} \) (B) \( \frac{11}{41} \) (C) \( \frac{21}{40} \) (D) \( \frac{1}{2} \) (E) \( \frac{22}{41} \)
问题16. 从所示网格中随机选取四个点。每个四点集合被选中的概率相同。这四个点构成正方形的概率是多少？
(A) \( 1/{21} \) (B) \( 1/{14} \) (C) \( 2/{21} \) (D) \( 1/7 \) (E) \( 2/7 \)
问题17. 二十个格点沿一个 \( 4 \times 3 \) 矩形的边排列，如图所示。有多少个三角形，其三个顶点都在这些点中？ (A) 1056 (B) 1052
(C) 1036 (D) 1032 (E) 1012
问题18. 从三角形的一个顶点向对边画出六条不同的线段。所得图形中共有多少个三角形？
(A) 19 (B) 32 (C) 26 (D) 38 (E) 28
问题19. 三角形 \( {ABC} \) 被四条线段切割，如图所示。 \( {EF}//{DG}//{CB} \) 。共有多少个三角形区域？
(A) 19 (B) 12 (C) 16 (D) 18 (E) 20
问题20. 求顶点为 \( {xy} \) -平面内格点且满足 \( 1 \leq x \leq 5 \) 和 \( 1 \leq y \leq 5 \) 的三角形数量。
(A) 1650 (B) 2200 (C) 2270 (D) 2160 (E) 2016
问题21. 20个正方形块排成一个 \( 4 \times 5 \) 矩形。从中选取2个块的组合有多少种，使得这两个块不共享公共边？
(A) 100 (B) 125 (C) 149 (D) 155 (E) 160
问题22. 从8×8棋盘中选取两个正方形，使得它们只有一个公共点，有多少种选法？
(A) 90 (B) 92 (C) 94 (D) 98 (E) 96
问题23. 从8×8棋盘中选取一个由三个正方形组成的 \( L \) 形图形，有多少种选法？
(A) 190 (B) 162 (C) 174 (D) 188 (E) 196
解决方案:
问题1. 解答:(E)。
圆与三角形的每条边最多相交于两点，因此交点数不会超过六个。
该图表明，该数字确实可以为六。
问题2. 解答:(E)。
两个相交的圆有2个交点。一个正方形与一个圆有8个交点，与两个圆共有16个交点。因此总共有2 \( + {16} = {18} \) 个交点。
该图表明，该数字确实可以是18。
问题3. 解答:(C)。
方法一:
每对圆最多有两个交点。共有 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) = {10} \) 对
圆之间最多有 \( {10} \times 2 = {20} \) 个交点。方法二:两个圆之间最多有两个交点。
如果我们添加第三个圆，这个新圆最多会与那两个圆相交于 \( 2 \times 2 = 4 \) 个点。
于是我们得到 \( 2 + 4 = 6 \) 个交点。
如果我们添加第四个圆，这个圆最多会与这三个圆相交于 \( 2 \times 3 \) \( = 6 \) 个点。
如果我们添加第五个圆，这个圆最多将与这三个圆相交于 \( 2 \times 4 = \) 8个点。
于是我们得到了 \( 2 + 4 + 6 + 8 = {20} \) 个交点。
方法3:
根据公式，交点数量为 \( n\left( {n - 1}\right) = 5 \times 4 = {20} \) 。
问题4。解答:(A)。
方法1:
每对圆最多有两个交点。共有 \( \left( \begin{array}{l} {10} \\ 2 \end{array}\right) = {45} \) 对圆，
因此最多有 \( {45} \times 2 = {90} \) 个交点。
方法2:
根据公式，交点数量为 \( n\left( {n - 1}\right) = {10} \times 9 = {90} \) 。
问题5。解答:(D)。
方法1:四条直线共有6个交点。一个圆与每条直线最多有两个交点。每个圆将额外增加8个交点，三个圆与直线共增加24个交点。
然而，三个圆彼此之间最多有6个交点。这将再增加6个交点。总交点数为 \( 6 + {24} + \) \( 6 = {36} \) 。
方法2:交点数量为 \( N \) 且
\( N = 2\left( \begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{l} m \\ 2 \end{array}\right) + {2mn} = n\left( {n - 1}\right) + \frac{m\left( {m - 1}\right) }{2} + {2mn} \) ，其中 \( n \) 为
圆的数量， \( m \) 为直线的数量。
\[ N = 3\left( {3 - 1}\right) + 4\left( {4 - 1}\right) /2 + 2 \times 3 \times 4 = {36} \]
问题6。解答:(C)。
由于排除了位于直线 \( m \) 和 \( n \) 上的交点，仅计算阴影区域内的交点。直线 \( m \) 上的两点与直线 \( n \) 上的两点构成一个交点。在
直线 \( m \) 上选取两点的方法数为 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \) ，在直线 \( n \) 上选取两点的方法数为 \( \left( \begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) \) 。因此最大交点数为二者的乘积: \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right) \left( \begin{array}{l} 6 \\ 2 \end{array}\right) = {150} \) 。
问题7。解答:(B)。
通过将 \( a \) 上的两点与 \( b \) 上的两点连接，我们得到一个交点。
我们有 \( \left( \begin{array}{l} {10} \\ 2 \end{array}\right) \) 种方法从 \( \left( \begin{array}{l} {10} \\ 2 \end{array}\right) \) 上的10个点中选取两点
，以及 \( \left( \begin{array}{l} 9 \\ 2 \end{array}\right) \) 种方法从 \( b \) 上的9个点中选取两点。
因此交点的数量为 \( \left( \begin{array}{l} {10} \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 9 \\ 2 \end{array}\right) = {45} \times {36} = {1620} \) 。
问题8。解答:(B)。
方法1(间接法):
50条直线最多相交于 \( \left( \begin{array}{l} {501} \\ 2 \end{array}\right) = {1225} \) 个点。但其中有12条直线 \( {L}_{4},{L}_{8},\ldots ,{L}_{48} \) 互相平行，因此失去了 \( \left( \begin{array}{l} {12} \\ 2 \end{array}\right) = {66} \) 个交点。此外，13条直线 \( {L}_{1},{L}_{5},\ldots \) 、 \( {L}_{49} \) 仅交于点 \( A \) ，于是又失去了 \( \left( \begin{array}{l} {13} \\ 2 \end{array}\right) - 1 = {77} \) 个交点。最大交点数为 \( {1225} - {66} - {77} = {1082} \) 。
方法2(直接法):
共有50条直线。然而，我们知道其中12条直线 \( {L}_{4},{L}_{8},\ldots ,{L}_{48} \) 互相平行，它们之间没有交点。又已知13条直线 \( {L}_{1} \) 、 \( {L}_{5},\ldots ,{L}_{49} \) 仅交于点A，因此它们之间只有一个交点。
剩下的25条直线之间共有 \( \left( \begin{array}{l} {50} - {12} - {13} \\ 2 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} {25} \\ 2 \end{array}\right) = {300} \) 个交点。这25条直线将分别与直线 \( {\mathrm{L}}_{4n} \) 和 \( {\mathrm{L}}_{{4n} - 3} \) 各相交一次，于是得到 \( {25} \times {25} = {625} \) 个交点。此外， \( {\mathrm{L}}_{4n} \) 与 \( {\mathrm{L}}_{{4n} - 3} \) 之间还有 \( {12} \times {13} = {156} \) 个交点。最大交点数为 \( 1 + {300} + {625} + {156} = {1082} \) 。问题9。解答:(A)。
方法1(官方解答):
将八边形标记为ABCDEFG。总共有20条对角线，每个顶点引出5条。对角线分为三类:
- 仅跳过一个顶点的对角线，如AC或AG。这类对角线与被跳过顶点引出的五条对角线中的每一条都相交。
- 跳过两个顶点的对角线，如AD或AF。这类对角线与被跳过的两个顶点各自引出的五条对角线中的四条相交。
- 直达对顶点的对角线，如AE。这类对角线与被跳过的三个顶点各自引出的五条对角线中的三条相交。
因此，从任意给定顶点出发，对角线将在 \( 2 \cdot 5 + 2 \cdot 8 + 1 \cdot 9 = {35} \) 个点处与其他对角线相交。从全部8个顶点统计，总计为 \( 8 \cdot {35} = \) 280个点。
观察可知，由于对称性，所有四条通向对顶点的对角线都在八边形中心相交。这一交点被重复计数了24次，每个顶点各计3次。进一步观察，在由对角线构成的最小内部八边形的每个顶点处，有3条对角线相交。例如， \( \mathrm{{AD}} \) 与 \( \mathrm{{CH}} \) 在 \( \mathrm{{BF}} \) 相交。这8个交点各被计数了12次，每个受影响的6个顶点各计2次。其余交点仅涉及两条对角线，每个交点
被计数了4次，每个端点各计1次。这些交点的数量为(280-24-8. \( {12})/4 = {40} \) .
因此，八边形内部共有 \( 1 + 8 + {40} = {49} \) 个不同的交点。
方法二(我们的解法):
我们通过直接作图求解，得到49个交点。方法三(我们的解法):
我们知道，凸 \( n \) 边形的对角线最多有 \( N \) 个交点，且 \( N = \left( \begin{array}{l} n \\ 4 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{l} 8 \\ 4 \end{array}\right) = {70} \) 。
然而，四条对角线在中心相交，因此我们需要从总数中减去。 \( \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) = 6 \)
还需注意，存在多条对角线在同一点相交的情况。如图所示，共有8个这样的点。因此我们需要减去 \( 8 \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) = {24} \) 。
最终，我们得到 \( {70} - 6 + 1 - {24} + 8 = {49} \) 问题10。解法:(A)。方法一:
我们进行计数。一个矩形可将平面分成2个区域。两个矩形可将平面分成10个区域。三个矩形可将平面分成 \( 3 \times 4 \) \( + 2 \times 4 + 4 + 1 = {26} \) 个区域。
方法二:
\( n \) 个矩形最多可将平面分成 \( N \) 个区域，且 \( N = 2 + {4n}\left( {n - 1}\right) = \)
\[ N = 2 + 4 \times 3\left( {3 - 1}\right) = {26} \]
问题11。解法:(C)。
一个圆最多可将平面分成2部分。两个圆最多可将平面分成4部分。三个圆最多可将平面分成8部分。现在我们插入第 \( {4}^{\text{th }} \) 个圆，仅靠目测难以数清区域数量。为了使分割的区域尽可能多，第 \( {4}^{\text{th }} \) 个圆必须与每个已有圆各产生2个交点。于是得到6个交点。这6个点将第 \( {4}^{\text{th }} \) 个圆分成6段弧，每段弧将其所在区域一分为二，即每段弧使区域数增加1，因此6段弧共增加6个区域，从而可知4个圆可将平面分成 \( 8 + 6 = {14} \) 个区域。
同理，第五个圆必须与每个已有圆各产生2个交点。于是得到8个交点。这8个点将第 \( {5}^{\text{th }} \) 个圆分成8段弧，每段弧将其所在区域一分为二，即每段弧使区域数增加1，因此8段弧共增加8个区域，从而可知5个圆可将平面分成 \( {14} + 8 = {22} \) 个区域。
问题12. 解答:(D)。
根据公式，区域点的数量为
\[ N = 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 0 \end{array}\right) + 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 1 \end{array}\right) + 2\left( \begin{array}{l} n - 1 \\ 2 \end{array}\right) = n\left( {n - 1}\right) + 2. \]
答案是 \( N = {10} \times 9 + 2 = {92} \) 。
问题13. 解答:(D)。
包含阴影区域的矩形子区域数量为 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) = {81} \)
问题14. 解答:(D)。
首先，从阴影区域左侧的两条线中选择一条作为包含阴影区域的矩形的左侧边，即 \( \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \) ；
其次，从阴影区域右侧的15条线中选择一条作为包含阴影区域的矩形的右侧边，即 \( \left( \begin{array}{l} {15} \\ 1 \end{array}\right) \) ；第三，从阴影区域上方的三条线中选择一条作为包含阴影区域的矩形的顶边，即 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \) ；
第四，从阴影区域下方的两条线中选择一条作为包含阴影区域的矩形的底边，即 \( \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \) ；
第五，应用基本计数原理(Fundamental Counting Principal)得到包含阴影正方形的矩形子区域总数:
\[ \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} {15} \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 1 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right) = {180}. \]
问题15. 解答:(A)。
有3条线段可作为矩形的顶边或底边。有2004条线段可作为矩形的两条侧边。矩形总数为 \( \left( \begin{matrix} {41} + 1 \\ 2 \end{matrix}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \) 。
不包含阴影区域左侧阴影部分的矩形数量为 \( \left( \begin{matrix} {20} + 1 \\ 2 \end{matrix}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \) ；
不包含阴影区域右侧阴影部分的矩形数量为 \( \left( \begin{matrix} {20} + 1 \\ 2 \end{matrix}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \) 。
概率为: \( \frac{2 \times \left( \begin{matrix} {20} + 1 \\ 2 \end{matrix}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) }{\left( \begin{matrix} {41} + 1 \\ 2 \end{matrix}\right) \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) } = \frac{420}{861} = \frac{20}{41} \) 。
问题16. 解答:(A)。
从九个格点中可选取的三点组数量
\[ \left( \begin{array}{l} 9 \\ 4 \end{array}\right) = {126} \]
形成的正方形数量为6:
因此概率为 \( 6/{126} = 1/{21} \) 。
问题17. 解答:(A)。
共有 \( \left( \begin{array}{l} {20} \\ 3 \end{array}\right) \) 种总潜在方式。注意我们使用“潜在”一词，因为还需考虑形成退化三角形的情况。
(1) 取同一行三点无法形成的三角形数量为 \( \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) \) 。四行共产生 \( 4 \times \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) \) 个退化三角形。
(2) 取同一列三点无法形成的三角形数量为 \( \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \) 。五列共产生 \( 5 \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \) 个退化三角形；
(3) 按下图所示取三点无法形成的三角形数量为 \( 4 \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) \) 。(4) 按下图所示取三点无法形成的三角形数量为 \( 4 \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \) 。
(5) 按下图所示取三点无法形成的三角形数量
为 \( 4 \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) \) 。
三角形总数将为
\[ \left( \begin{array}{l} {20} \\ 3 \end{array}\right) - 4 \times \left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) - 5 \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) - 4 \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) - 4 \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) - 4 \times \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) \]
\[ = {1140} - {40} - {20} - 4 - {16} - 4 = {1056}\text{.} \]
问题18. 解答:(E)。
可能形成的三角形总数为 \( \left( \begin{array}{l} 9 \\ 3 \end{array}\right) = {84} \) ，其中9表示总直线数，任选三条直线构成三角形。
然而，从交于点 \( B \) 的五条直线中任选三条将形成退化三角形，即无法构成三角形。共有 \( \left( \begin{array}{l} 8 \\ 3 \end{array}\right) = {56} \) 种方式。
排除退化三角形后，所求答案为 \( {84} - {56} = {28} \) 。
问题19. 解答:(D)。
方法1(间接法):
可能构成的三角形总数为 \( \left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) \) ，其中数字7表示总直线数。
(1)从交于点A的四条直线中任选三条，无法构成三角形；共有 \( \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) \) 种选法。
(2)若选取的两条直线平行(共三条平行线)且再选一条其他直线，也无法构成三角形；共有 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right) \) 种选法。
(3)三条平行线同样无法构成三角形；共有 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) \) 种选法。
所求结果为: \( \left( \begin{array}{l} 7 \\ 3 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 1 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) = {35} - 4 - {12} - 1 = {18} \) 。
方法2(直接法)
首先为梯形选择两条平行底边，从三条中任选两条，即 \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \) ；再从四条直线中任选两条作为腰，即 \( \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) \) 。
所求结果为: \( \left( \begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{l} 4 \\ 2 \end{array}\right) = {18} \) 。
问题20。答案:(D)。
共有 \( \left( \begin{array}{l} {25} \\ 3 \end{array}\right) = {2300} \) 种选取3点的方式。
然而，并非任意三点都能构成三角形，因此需从总数中减去无法构成三角形的情况。
在5条竖线与5条横线上，任意选取的3点若共线，则无法构成三角形；共有 \( {10}\left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) = {100} \) 个这样的退化三角形。
同理，如右上图所示，还有 \( 2\left( \begin{array}{l} 5 \\ 3 \end{array}\right) + 4\left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right) + 4\left( \begin{array}{l} 3 \\ 3 \end{array}\right) = {40} \) 组三点共线的选法。
退化三角形总数为 \( {100} + {40} = {140} \) ，故答案为 \( {2300} - {140} = {2160} \) 。
问题21。答案:(C)。
我们有两类情况，两个正方形共享同一条边:1×2 或 2×1。
我们计算 \( 4 \times 4 = {26} \) 个1×2对
以及 \( 3 \times 5 = {15} \) 个2×1对。
总对数为 \( \left( \begin{array}{l} {20} \\ 2 \end{array}\right) = {190} \) 。
答案是 \( {190} - {26} - {15} = {149} \) 。
问题22。解答:(D)。
下图显示了两个正方形仅有一个公共点。
我们看到，对于每一个2×2的正方形，我们得到两种选择方式。
设 \( N \) 为从 \( m \) × \( m \) 的正方形中可选出的 \( l \) × \( l \) 正方形的数量。 \( N = {\left\lbrack m - \left( l - 1\right) \right\rbrack }^{2} = {\left\lbrack 8 - \left( 2 - 1\right) \right\rbrack }^{2} = {49} \) 个正方形。
由于每个2×2正方形对应两种选择方式，答案是 \( 2 \times {49} = {98} \) 。注:一般而言，从 \( \mathrm{m} \) × \( \mathrm{n} \) 棋盘中选出仅有一个公共点的两个正方形的方法数为: \( 2\left( {m - 1}\right) \times \left( {n - 1}\right) \) 。
问题23。解答:(E)。
下图显示，对于每一个2×2正方形，我们得到4种选择方式。
因此方法数为 \( N = 4\left( {m - 1}\right) \times \left( {n - 1}\right) = 4\left( {8 - 1}\right) \times \left( {8 - 1}\right) \) \( = {196} \) 。